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[CF1433G] Reducing Delivery Cost

题目

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题目大意:给出无向图 $G = (V, E)$ 和 $k$ 组 $a_i, b_i$,每次可以选取图中的任意一条边将边权变为 $0$,最小化 $\sum \operatorname{dis}(a_i, b_i)$。$2 \le |V| \le 1000, |V| - 1 \le |E| \le \min(1000, \dfrac{|V|(|V| - 1)}{2}), 1 \le k, w_i \le 1000$。

思路

先用 Djikstra 求出每个点的单源最短路,由于这个题边数并不大,$O(nm \log m)$ 的复杂度还是可以接受的。

现在假设要从 $u$ 走到 $v$,在改了一条边的边权为 $0$ 之后,不难发现最短路要么经过这条边,要么不经过。

不经过的情况已经讨论过了,接下来处理经过这条边的情况。设这条边的端点为 $u’, v’$,很显然距离为 $\operatorname{dis}(u, u’) + \operatorname{dis}(v’, v)$。

然后做法就很显然了,枚举每条边将边权变为 $0$,然后对每对端点更新一次答案,最后取最小值就行了。

注意这道题是无向边,需要特别处理一下。

代码

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#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>

template <class T>
inline void read(T &x) {
x = 0;
int f = 0;
char ch = getchar();
while (!isdigit(ch)) { f |= ch == '-'; ch = getchar(); }
while (isdigit(ch)) { x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48); ch = getchar(); }
x = f ? -x : x;
return ;
}

const int inf = 0x3f3f3f3f;

struct Edge {
int to, v;
} ;

struct Node {
int pos, dis;
friend bool operator < (const Node &a, const Node &b) {
return a.dis > b.dis;
}
} ;

std::vector<Edge> g[1010];
int dis[1010][1010];
int a[1010], b[1010];
int n, m, k, ans = inf;
bool vis[1010];

void dijkstra(int s) {
memset(vis, false, sizeof(vis));
std::priority_queue<Node> q;
for (int i = 1; i <= n; ++i) dis[s][i] = inf;
dis[s][s] = 0;
q.push((Node){s, 0});
while (!q.empty()) {
Node top = q.top();
q.pop();
if (vis[top.pos]) continue;
vis[top.pos] = true;
for (auto i : g[top.pos]) {
if (dis[s][i.to] > dis[s][top.pos] + i.v) {
dis[s][i.to] = dis[s][top.pos] + i.v;
q.push((Node){i.to, dis[s][i.to]});
}
}
}
}

int main() {
read(n), read(m), read(k);
for (int i = 1, u, v, w; i <= m; ++i) {
read(u), read(v), read(w);
g[u].push_back((Edge){v, w}), g[v].push_back((Edge){u, w});
}
for (int i = 1; i <= k; ++i) read(a[i]), read(b[i]);
for (int i = 1; i <= n; ++i) dijkstra(i);
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
for (auto edge : g[i]) {
int sum = 0;
for (int j = 1; j <= k; ++j) {
sum += std::min(dis[a[j]][b[j]], std::min(dis[a[j]][i] + dis[edge.to][b[j]], dis[a[j]][edge.to] + dis[i][b[j]]));
}
ans = std::min(ans, sum);
}
}
printf("%d\n", ans);
return 0;
}