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[NOIp2018] 赛道修建

题目

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题目大意:给出一棵 $n$ 个点的树,要求在树上修建 $m$ 条道路。每条边最多被一条道路覆盖。最大化赛道中长度最小的赛道。$1 \le n \le 5 \times 10^4, 1 \le m \le n - 1$。

思路

看到最大化最小值首先想到二分。

对于 $m = 1$ 的情况,只需要找到树的直径然后输出即可。

对于树是一条链的情况,二分道路长度判断即可。

对于菊花图,只需要在根结点遍历所有边,对边的长度排序后找出 $\max(w_1 + w_{n - 1}, w_2 + w_{n - 2}, \cdots)$ 即为答案。

然后就能拿到很可观的分数了。

其实菊花图的情况已经给了我们一些启示,对于每个结点向儿子的边里,一条道路最多覆盖其中的两条边。

考虑贪心。设当前结点为 $u$,儿子结点为 $v$,如果 $w_{u, v} \ge mid$,说明这条道路满足条件,直接加上即可。

如果 $w_{u, v} < mid$,有可能这条边能和这个结点到儿子的另外一条边组成一条道路,所以先加到一个集合里。

在集合里对每条边贪心地找到最小的边使得 $w_1 + w_2 \ge mid$,然后把这条边加进答案里。这些很显然是最优的。

如果集合中没有这种边满足两条边的和大于 $mid$,这条边也有可能跟父节点向下的边组成道路满足条件,而且最大化这条边一定是最优的,所以用一个变量来存储这种边的最大值。

这个过程可以用 multiset 实现。

不知道为什么我不开 O2 会 T 一两个点,大概是菊花图的情况这种算法时间比较慢,当然我自带大常数不是一天两天了。

代码

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#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <set>

template <class T>
inline void read(T &x) {
x = 0;
int f = 0;
char ch = getchar();
while (!isdigit(ch)) { f |= ch == '-'; ch = getchar(); }
while (isdigit(ch)) { x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48); ch = getchar(); }
x = f ? -x : x;
return ;
}

typedef unsigned long long uLL;
typedef long long LL;

struct Edge {
int to;
LL w;
} ;

std::multiset<LL> st[50010];
std::vector<Edge> g[50010];
LL n, m, l = 1, ans, sum, max, r;

LL dfs(int x, int p, LL mid) {
st[x].clear();
for (auto i : g[x]) {
if (i.to != p) {
LL val = dfs(i.to, x, mid) + i.w;
if (val >= mid) ++sum;
else st[x].insert(val);
}
}
max = 0;
while (!st[x].empty()) {
if (st[x].size() == 1) return std::max(max, *st[x].begin());
std::multiset<LL>::iterator it = st[x].lower_bound(mid - *st[x].begin());
if (it == st[x].begin() && st[x].count(*it) == 1) ++it;
if (it == st[x].end()) {
max = std::max(max, *st[x].begin());
st[x].erase(st[x].find(*st[x].begin()));
} else {
++sum;
st[x].erase(st[x].find(*it));
st[x].erase(st[x].find(*st[x].begin()));
}
}
return max;
}

bool check(LL mid) {
sum = 0;
dfs(1, 0, mid);
return sum >= m;
}

int main() {
read(n), read(m);
for (LL i = 1, u, v, w; i < n; ++i) {
read(u), read(v), read(w);
r += w;
g[u].push_back((Edge){v, w}), g[v].push_back((Edge){u, w});
}
while (l <= r) {
LL mid = (l + r) >> 1LL;
if (check(mid)) {
ans = mid, l = mid + 1;
} else {
r = mid - 1;
}
}
printf("%lld\n", ans);
return 0;
}