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一道解方程

题目

解方程组 $\begin{cases}\sqrt{x(1 - y)} + \sqrt{y(1 - x)} = \dfrac{1}{2}\\\sqrt{xy} + \sqrt{(1 - x)(1 - y)} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{cases}$.

答案

法一

对上式分别平方, 得到 $\begin{cases}x(1 - y) + y(1 - x) + 2\sqrt{xy(1 - x)(1 - y)} = \dfrac{1}{4}\\xy + (1 - x)(1 - y) + 2\sqrt{xy(1 - x)(1 - y)} = \dfrac{3}{4}\end{cases}$.

化简后得到 $xy(1 - x)(1 - y) = 0$.

解得方程的解为 $\begin{cases}x = 0\\y = \dfrac{1}{4}\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x = 1\\y = \dfrac{3}{4}\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x = \dfrac{1}{4}\\y = 0\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x = \dfrac{3}{4}\\y = 1\end{cases}$.

法二

由 $xy \ge 0$ 得 $x, y$ 同号.

若 $x, y < 0$, 则 $x(1 - y) < 0$.

所以 $x, y \ge 0$ 且 $x, y \le 1$.

设 $x = \sin ^ 2 \theta, \theta \in [0, \dfrac{\pi}{2}], y = \sin ^ 2 \varphi, \varphi \in [0, \dfrac{\pi}{2}]$.

原方程组化为 $\begin{cases}\sin \theta \cos \varphi + \sin \varphi \cos \theta = \dfrac{1}{2}\\\sin \theta \sin \varphi + \cos \theta \cos \varphi = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{cases}$.

即 $\begin{cases}\sin(\theta + \varphi) = \dfrac{1}{2}\\\cos(\theta - \varphi) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{cases}$.

然后应该学过必修四就会了。

后记

感觉自己好久没有写这种东西了,所以水一篇(

不知不觉又一年过去了,去年这个时候说要进省队,结果没进,连一等都没拿上。

倒是 fgo 忙里偷闲地把 1.5 要打完了,音游打的也不算特别差。

文化课比初中那会排名高了许多,非常吓人。

感觉课内并没有什么思维上很难的东西(除了政治历史)。不过我现在有借口掩饰中考没考好了:初中没有认真学习。

前几天打了场 div 3,结果被自己的英语阅读水平坑了。

在现在的班里面成为了那种自己感觉很沉默的人,倒也不是什么坏事。

认识了年级里十分厉害的人,一番询问后发现他中考语文比我高了二三十分,tql。

现在随身带着小刀,大不了就是进去几年(危险发言)。

今年 XJ 也有省选了,好事情,政策上是 A + C,这样换算一下我的省选分数至少要比当前最后一名高 44 分,我感觉按照省选的难度来说是没辙了。

WC 因为傻逼原因没能去。

感觉新的一年里要努力呢 ^^ 。

话说现在又到了冬天了,放这首歌没问题吧?