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一道数列题

题目

已知数列 $\{a_n\}$, $a_1 = 2, a_{n + 1} = \dfrac{1}{2}(a_n - \dfrac{1}{a_n})$, 求 $\{a_n\}$ 的通项公式.

解答

考虑方程 $x = \dfrac{1}{2}(x - \dfrac{1}{x})$. 化简得到 $x^2 = -1$.

意味着不动点在实数域内不存在, 但并不意味着无法用不动点方法继续解下去.

显然 $\text{i}$ 和 $-\text{i}$ 是两个不动点, 有:

$$
a_{n + 1} - \text{i} = \dfrac{a_n^2 - 1}{2a_n} - \text{i} = \dfrac{(a_n - \text{i}) ^ 2}{2a_n}
$$

$$
a_{n + 1} + \text{i} = \dfrac{a_n^2 - 1}{2a_n} + \text{i} = \dfrac{(a_n + \text{i}) ^ 2}{2a_n}
$$

得到 $\dfrac{a_{n + 1} + \text{i}}{a_{n + 1} - \text{i}} = (\dfrac{a_n + \text{i}}{a_n - \text{i}}) ^ 2$.

取对数累乘之后得到 $\dfrac{a_{n + 1} + \text{i}}{a_{n + 1} - \text{i}} = (\dfrac{3}{5} + \dfrac{4}{5}\text{i})^{2^{n}}$.

解得 $a_n = \text{i} \cdot \dfrac{(3 + 4\text{i})^{2^{n - 1}} + 5^{2^{n - 1}}}{(3 + 4\text{i})^{2^{n - 1}} - 5^{2^{n - 1}}}$.

也可以使用三角函数换元, 注意到 $\cot 2\theta = \dfrac{1}{2}(\cot \theta - \dfrac{1}{\cot \theta})$, 之后换元即可, 解得 $a_n = \cot(\arctan \dfrac{1}{2} \cdot 2^{n - 1})$.

还是很有意思的, 不动点不是实数这个方法也能用.

引用

【数列】浅谈“不动点”求数列通项的方法